РЕШУ ЦТ — математика

Задания

Задание № 2780 Добавить в вариант

Источник: Централизованный экзамен. Математика: полный сборник тестов, 2025 год. Вариант 1

Тригонометрические уравнения

Найдите (в градусах) сумму различных корней уравнения $синус 22x плюс синус 2x = 0$ на промежутке [–⁠40°; –⁠5°].

Решение. Воспользуемся формулой суммы синусов:

$синус 22x плюс синус 2x = 0 равносильно 2 синус 12x косинус 10x = 0 равносильно$
$равносильно совокупность выражений синус 12x = 0, косинус 10x = 0 конец совокупности . равносильно совокупность выражений 12x = Пи k, 10x = дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс Пи k конец совокупности . равносильно совокупность выражений x = дробь: числитель: Пи k, знаменатель: 12 конец дроби , x = дробь: числитель: Пи , знаменатель: 20 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи k, знаменатель: 10 конец дроби , конец совокупности . k принадлежит Z .$ $синус 22x плюс синус 2x = 0 равносильно$
$равносильно 2 синус 12x косинус 10x = 0 равносильно совокупность выражений синус 12x = 0, косинус 10x = 0 конец совокупности . равносильно$
$равносильно совокупность выражений 12x = Пи k, 10x = дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс Пи k конец совокупности . равносильно совокупность выражений x = дробь: числитель: Пи k, знаменатель: 12 конец дроби , x = дробь: числитель: Пи , знаменатель: 20 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи k, знаменатель: 10 конец дроби , конец совокупности . k принадлежит Z .$

Корни, принадлежащие промежутку $левая квадратная скобка минус дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 9 конец дроби ; минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 36 конец дроби правая квадратная скобка ,$ найдем при помощи двойных неравенств. Для первой серии корней получаем:

$минус дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 9 конец дроби меньше или равно дробь: числитель: Пи k, знаменатель: 12 конец дроби меньше или равно минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 36 конец дроби равносильно минус дробь: числитель: 2, знаменатель: 9 конец дроби меньше или равно дробь: числитель: k, знаменатель: 12 конец дроби меньше или равно минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 36 конец дроби равносильно минус целая часть: 2, дробная часть: числитель: 2, знаменатель: 3 меньше или равно k меньше или равно минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби \underset k принадлежит Z \mathop равносильно совокупность выражений k = минус 2, k = минус 1. конец совокупности .$ $минус дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 9 конец дроби меньше или равно дробь: числитель: Пи k, знаменатель: 12 конец дроби меньше или равно минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 36 конец дроби равносильно минус дробь: числитель: 2, знаменатель: 9 конец дроби меньше или равно дробь: числитель: k, знаменатель: 12 конец дроби меньше или равно минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 36 конец дроби равносильно$
$равносильно минус целая часть: 2, дробная часть: числитель: 2, знаменатель: 3 меньше или равно k меньше или равно минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби \underset k принадлежит Z \mathop равносильно совокупность выражений k = минус 2, k = минус 1. конец совокупности .$

Полученным значениям параметра соответствуют числа $минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби$ и $минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 12 конец дроби .$

Для второй серии корней получаем:

$минус дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 9 конец дроби меньше или равно дробь: числитель: Пи , знаменатель: 20 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи k, знаменатель: 10 конец дроби меньше или равно минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 36 конец дроби равносильно минус дробь: числитель: 49 Пи , знаменатель: 180 конец дроби меньше или равно дробь: числитель: Пи k, знаменатель: 10 конец дроби меньше или равно минус дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 90 конец дроби равносильно минус целая часть: 2, дробная часть: числитель: 13, знаменатель: 18 меньше или равно k меньше или равно минус дробь: числитель: 7, знаменатель: 9 конец дроби \underset k принадлежит Z \mathop равносильно совокупность выражений k = минус 2, k = минус 1. конец совокупности .$ $минус дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 9 конец дроби меньше или равно дробь: числитель: Пи , знаменатель: 20 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи k, знаменатель: 10 конец дроби меньше или равно минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 36 конец дроби равносильно минус дробь: числитель: 49 Пи , знаменатель: 180 конец дроби меньше или равно дробь: числитель: Пи k, знаменатель: 10 конец дроби меньше или равно минус дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 90 конец дроби равносильно$
$равносильно минус целая часть: 2, дробная часть: числитель: 13, знаменатель: 18 меньше или равно k меньше или равно минус дробь: числитель: 7, знаменатель: 9 конец дроби \underset k принадлежит Z \mathop равносильно совокупность выражений k = минус 2, k = минус 1. конец совокупности .$

Полученным значениям параметра соответствуют числа $минус дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 20 конец дроби$ и $минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 20 конец дроби .$

Сумма найденных чисел равна

$минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 12 конец дроби минус дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 20 конец дроби минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 20 конец дроби = минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 5 конец дроби = минус дробь: числитель: 9 Пи , знаменатель: 20 конец дроби ,$

то есть  $минус 81 градусов.$

Ответ: − 81.

Ответ: -81

2780

-81

Источник: Централизованный экзамен. Математика: полный сборник тестов, 2025 год. Вариант 1

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	2780	-81